Analisis Real 1

Himpunan dan Fungsi

1.1  Himpunan

Jika x adalah suatu elemen di himpunan A maka kita menuliskan x 2 A. Kadang-kadang

kita juga mengatakan x suatu unsur atau anggota di A. Sementara itu jika

y bukan elemen di A maka kita tuliskan y /2 A.

Untuk menuliskan sebuah himpunan kita dapat mencacah semua elemennya

jika berhingga. Selain itu, cara yang lebih umum adalah kita memberi sifat khusus

yang dimiliki oleh elemen-elemen di suatu himpunan. Adapun himpunan kosong

kita menotasikannya dengan ;. Sebagai contoh, himpunan berhingga A = {0, 1}

dapat juga dituliskan

A = {x : x2 = x}.

Kita memahami notasi terakhir ini bahwa A adalah himpunan semua bilangan real

x yang memenuhi sifat x2 = x.

Beberapa himpunan mempunyai notasi khusus. Karena akan sering digunakan

di buku ini maka kita akan mengingatnya kembali notasi-notasi itu. Untuk him-

punan semua bilangan real kita menotasikan R, sedangkan yang lainnya adalah

Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, ...}

Himpunan bilangan bulat Z = {0, 1,−1, 2,−2, ...}

Himpunan bilangan rasional Q = {x,y : x, y 2 Z, y 6= 0}.

Selanjutnya, jika untuk sebarang x 2 A berlaku pula x 2 B, maka kita katakan

A subhimpunan dari B. Kita dapat menotasikannya dengan A _ B atau B _ A.

Sementara itu, dua buah himpunan A,B dikatakan sama, dinotasikan A = B, jika

berlaku A _ B dan B _ A.

Sekarang kita melihat cara mendapatkan himpunan baru dari sebarang dua

himpunan yang diberikan. Misalkan A dan B keduanya adalah himpunan. Komplemen

B relatif terhadap A adalah himpunan semua elemen A yang tidak terdapat di

B, dinotasikan A \ B. Dalam ungkapan lain

A \ B = {x 2 A : x /2 B}.

Untuk menyatakan komplemen B relatif terhadap himpunan semesta R, kita sering

menotasikannya dengan Bc.

Untuk sebarang dua himpunan A,B, gabungan A [ B, menyatakan semua

elemen yang terdapat di A atau di B. Adapun irisan A \ B menyatakan semua

elemen yang terdapat di A maupun di B. Dengan demikian kita dapat menuliskan

A [ B = {x : x 2 A atau x 2 B}

A \ B = {x : x 2 A dan x 2 B}.

Sebagai contoh, misalkan kita mempunyai dua himpunan

A = {−1, 0, 2, 3, 5} B = {0, 2, 4}.

Maka kita peroleh

A \ B = {−1, 3, 5}

A [ B = {−1, 0, 2, 3, 4, 5}

A \ B = {0, 2}

Berkaitan dengan operasi gabungan dan irisan himpunan, kita mempunyai

1.2. FUNGSI

Teorema 1.1.1 Misalkan A,B,C, adalah sebarang himpunan, maka

a. A \ A = A, A [ A = A

b. A \ B = B \ A, A [ B = B [ A

c. (A \ B) \ C = A \ (B \ C), (A [ B) [ C = A [ (B [ C)

d. A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C), A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)

Misalkan A1,A2, ...,An adalah n buah himpunan. Gabungan dan irisan dari n

buah himpunan ini, masing-masing adalah

n [i=1

Ai = {x : x 2 Ai untuk suatu i}

n \i=1

Ai = {x : x 2 Ai untuk setiap i}.

1.2 Fungsi

Jika X dan Y masing-masing adalah himpunan tak kosong, kita mendefinisikan hasil

kali kartesian X × Y sebagai himpunan

X × Y = {(a, b) : a 2 X, b 2 Y }.

Sebagai contoh, misalkan X = {0, 1} dan Y = {1, 2, 3}. Hasil kali kartesian dari X

dan Y adalah

X × Y = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}.

Definisi Misalkan f suatu subhimpunan di X × Y . Subhimpnan f disebut fungsi

jika untuk setiap a 2 X terdapat elemen tunggal b 2 Y yang memenuhi (a, b) 2 f.

Selanjutnya, f pada definisi di atas kita sebut fungsi dari X ke Y , dinotasikan

f : X ! Y . Untuk elemen (a, b) 2 f, b kita sebut nilai f di a dan kita tuliskan

b = f(a). Dalam hal ini himpunan X kita sebut domain f, dinotasikan X = D(f).

Sementara himpunan semua f(a) 2 Y dengan a 2 X kita sebut peta dari X oleh f,

dinotasikan R(f).

Definisi Misalkan X, Y masing-masing adalah himpunan dan f : X ! Y suatu

fungsi.

a. f disebut fungsi satu-satu jika berlaku

x1, x2 2 X dan f(x1) = f(x2) ) x1 = x2

b. f disebut fungsi onto jika untuk setiap y 2 Y terdapat x 2 X sehingga

f(x) = y.

Dalam ungkapan lain, f : X ! Y adalah fungsi satu-satu jika untuk sebarang

x1 6= x2 berlaku f(x1) 6= f(x2). Dan f dikatakan onto jika berlaku R(f) = Y . Selanjutnya,

fungsi yang bersifat satu-satu dan onto kita sebut fungsi bijektif. Berkaitan

dengan fungsi bijektif, kita mempunyai teorema penting berikut.

Teorema 1.2.1 Jika f : X ! Y suatu fungsi bijektif maka terdapat g : Y ! X

sehingga

f(g(y)) = y, y 2 Y

dan

g(f(x)) = x, x 2 X.

Pada teorema di atas, g disebut invers dari f dan dinotasikan g = f−1.

Sistem Bilangan Real (R)

           Pada kuliah kalkulus Anda telah mempelajari beberapa sifat dasar bilangan

real, khususnya sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian. Selain itu, Anda juga

telah diperkenalkan dengan konsep urutan dengan berbagai sifatnya serta bentuk

aplikasinya pada penyelesaian pertidaksamaan di bilangan real. Pada kuliah ini

Anda akan mendapat wawasan lanjutan tentang materi yang telah Anda peroleh di

kalkulus itu. Kita akan meninjau kembali sifat-sifat dasar di atas untuk kemudian

melangkah pada sifat-sifat kelengkapan yang merupakan target utama bab ini.

2.1 Aksioma-aksioma Bilangan Real

Pada sistem bilangan real R kita dapat mendefinisikan dua buah operasi, yaitu

penjumlahan (+) dan perkalian (·). Untuk semua a, b, c 2 R, kedua operasi ini

memenuhi semua sifat berikut:

Sifat Ketertutupan a + b dan a.b keduanya adalah elemen di R

SifatKomutatif a + b = b + a, a.b = b.a

Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c), (a.b).c = a.(b.c)

Sifat Distributif a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a

Eksistensi Identitas Penjumlahan Terdapat 0 2 R sehingga 0 + a = a.

Eksistensi Identitas Perkalian Terdapat elemen 0 6= 1 2 R sehingga 1.a = a

untuk semua a 2 R

Eksistensi Invers Penjumlahan Untuk setiap a 2 R terdapat −a 2 R sehingga

5

BAB 2. SISTEM BILANGAN REAL (R)

a + (−a) = 0.

Eksistensi Invers Perkalian Untuk setiap x 6= 0 di R terdapat satu elemen 1

x 2 R

sehingga x. 1

x = 1.

2.2 Urutan

Disamping adanya dua operasi di atas, pada sistem bilangan real juga dikenal

relasi urutan. Relasi urutan ini berkaitan dengan aspek positifitas dan ketaksamaan

antara dua buah bilangan real. Sifat-sifat urutan ini akan banyak kita

gunakan ketika mencari solusi pertidaksamaan di bilangan real. Persisnya, bahwa

di R terdapat subhimpunan tak kosong P, kita sebut himpunan bilangan positif,

yang memenuhi tiga sifat berikut:

i. Jika a 2 R maka (hanya) satu diantara pernyataan berikut yang dipenuhi

a 2 P, a = 0, atau − a 2 P

ii. Jika a, b 2 P maka a + b 2 P.

iii. Jika a, b 2 P maka ab 2 P.

Sifat yang pertama adalah yang dikenal dengan sebutan trikotomi. Adapun dua

sifat berikutnya menyatakan bahwa subhimpunan P tertutup terhadap operasi penjumlahan

dan perkalian.

Sifat-sifat urutan

Sekarang kita akan melihat berbagai implikasi dari semua definisi di atas. Tidak

hanya itu, kita mencoba membuktikannya dengan argumentasi logis.

Teorema 2.2.1 Relasi urutan di R memenuhi sifat-sifat berikut:

i. Untuk sebarang dua bilangan real a dan b maka persis satu di antara hubungan

berikut dipenuhi

a < b, a = b, atau a > b

ii. Jika a < b dan b < c maka a < c [Sifat Transitif ]

2.3. NILAI MUTLAK

 

iii. Jika a b dan b a maka a = b.

Bukti. (i.) Untuk dua bilangan sebarang a dan b, kita peroleh b − a 2 R.

Berdasarkan sifat trikotomi maka haruslah berlaku b − a 2 P , a < b, atau

b − a = 0 , a = b, atau a − b 2 P , a > b.

(ii.) Misalkan a < b dan b < c, berdasarkan definisi b−a 2 P dan c−b 2 P. Karena

P tertutup terhadap penjumlahan maka kita peroleh (b − a) + (c − b) = c − a 2 P,

atau a < c.

(iii.) Andaikan a 6= b, maka harus berlaku a < b atau a > b, berdasarkan sifat trikotomi.

Namun, baik a < b ataupun a > b keduanya bertentangan dengan asumsi

awal, yaitu a b dan b a.

---

2.3 Nilai Mutlak

Dalam pembahasan selanjutnya, kita berkepentingan dengan konsep jarak antara

dua buah titik (bilangan) di garis real. Oleh karena itu kita tinjau kembali definisi

nilai mutlak suatu bilangan, yang dapat kita pandang sebagai representasi jarak

bilangan itu dari titik nol.

Definisi Nilai mutlak |x| dari bilangan x 2 R didefinisikan sebagai

|x| =8<:

x , jika x 0

−x , jika x < 0

Dari definisi ini dengan mudah kita melihat bahwa |a| 0 untuk semua a, dan jika

a = 0 maka |a| = 0. Selanjutnya, misalkan a 6= 0, maka −a 6= 0 sehingga |a| 6= 0.

Oleh karena itu kita peroleh x = 0 jika dan hanya jika |x| = 0.

Teorema berikut memberikan gambaran lebih lanjut mengenai sifat-sifat nilai mutlak.