Kamis, 06 Desember 2012

Analisis Real 1


Himpunan dan Fungsi
1.1  Himpunan
Jika x adalah suatu elemen di himpunan A maka kita menuliskan x 2 A. Kadang-kadang
kita juga mengatakan x suatu unsur atau anggota di A. Sementara itu jika
y bukan elemen di A maka kita tuliskan y /2 A.
Untuk menuliskan sebuah himpunan kita dapat mencacah semua elemennya
jika berhingga. Selain itu, cara yang lebih umum adalah kita memberi sifat khusus
yang dimiliki oleh elemen-elemen di suatu himpunan. Adapun himpunan kosong
kita menotasikannya dengan ;. Sebagai contoh, himpunan berhingga A = {0, 1}
dapat juga dituliskan
A = {x : x2 = x}.
Kita memahami notasi terakhir ini bahwa A adalah himpunan semua bilangan real
x yang memenuhi sifat x2 = x.
Beberapa himpunan mempunyai notasi khusus. Karena akan sering digunakan
di buku ini maka kita akan mengingatnya kembali notasi-notasi itu. Untuk him-
punan semua bilangan real kita menotasikan R, sedangkan yang lainnya adalah
Himpunan bilangan asli N = {1, 2, 3, ...}
Himpunan bilangan bulat Z = {0, 1,−1, 2,−2, ...}
Himpunan bilangan rasional Q = {x,y : x, y 2 Z, y 6= 0}.
Selanjutnya, jika untuk sebarang x 2 A berlaku pula x 2 B, maka kita katakan
A subhimpunan dari B. Kita dapat menotasikannya dengan A _ B atau B _ A.
Sementara itu, dua buah himpunan A,B dikatakan sama, dinotasikan A = B, jika
berlaku A _ B dan B _ A.
Sekarang kita melihat cara mendapatkan himpunan baru dari sebarang dua
himpunan yang diberikan. Misalkan A dan B keduanya adalah himpunan. Komplemen
B relatif terhadap A adalah himpunan semua elemen A yang tidak terdapat di
B, dinotasikan A \ B. Dalam ungkapan lain
A \ B = {x 2 A : x /2 B}.
Untuk menyatakan komplemen B relatif terhadap himpunan semesta R, kita sering
menotasikannya dengan Bc.
Untuk sebarang dua himpunan A,B, gabungan A [ B, menyatakan semua
elemen yang terdapat di A atau di B. Adapun irisan A \ B menyatakan semua
elemen yang terdapat di A maupun di B. Dengan demikian kita dapat menuliskan
A [ B = {x : x 2 A atau x 2 B}
A \ B = {x : x 2 A dan x 2 B}.
Sebagai contoh, misalkan kita mempunyai dua himpunan
A = {−1, 0, 2, 3, 5} B = {0, 2, 4}.
Maka kita peroleh
A \ B = {−1, 3, 5}
A [ B = {−1, 0, 2, 3, 4, 5}
A \ B = {0, 2}
Berkaitan dengan operasi gabungan dan irisan himpunan, kita mempunyai


1.2. FUNGSI
Teorema 1.1.1 Misalkan A,B,C, adalah sebarang himpunan, maka
a. A \ A = A, A [ A = A
b. A \ B = B \ A, A [ B = B [ A
c. (A \ B) \ C = A \ (B \ C), (A [ B) [ C = A [ (B [ C)
d. A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C), A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)
Misalkan A1,A2, ...,An adalah n buah himpunan. Gabungan dan irisan dari n
buah himpunan ini, masing-masing adalah
n [i=1
Ai = {x : x 2 Ai untuk suatu i}
n \i=1
Ai = {x : x 2 Ai untuk setiap i}.
1.2 Fungsi
Jika X dan Y masing-masing adalah himpunan tak kosong, kita mendefinisikan hasil
kali kartesian X × Y sebagai himpunan
X × Y = {(a, b) : a 2 X, b 2 Y }.
Sebagai contoh, misalkan X = {0, 1} dan Y = {1, 2, 3}. Hasil kali kartesian dari X
dan Y adalah
X × Y = {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (1, 1), (1, 2), (1, 3)}.
Definisi Misalkan f suatu subhimpunan di X × Y . Subhimpnan f disebut fungsi
jika untuk setiap a 2 X terdapat elemen tunggal b 2 Y yang memenuhi (a, b) 2 f.
Selanjutnya, f pada definisi di atas kita sebut fungsi dari X ke Y , dinotasikan
f : X ! Y . Untuk elemen (a, b) 2 f, b kita sebut nilai f di a dan kita tuliskan
b = f(a). Dalam hal ini himpunan X kita sebut domain f, dinotasikan X = D(f).
Sementara himpunan semua f(a) 2 Y dengan a 2 X kita sebut peta dari X oleh f,
dinotasikan R(f).
Definisi Misalkan X, Y masing-masing adalah himpunan dan f : X ! Y suatu
fungsi.
a. f disebut fungsi satu-satu jika berlaku
x1, x2 2 X dan f(x1) = f(x2) ) x1 = x2
b. f disebut fungsi onto jika untuk setiap y 2 Y terdapat x 2 X sehingga
f(x) = y.
Dalam ungkapan lain, f : X ! Y adalah fungsi satu-satu jika untuk sebarang
x1 6= x2 berlaku f(x1) 6= f(x2). Dan f dikatakan onto jika berlaku R(f) = Y . Selanjutnya,
fungsi yang bersifat satu-satu dan onto kita sebut fungsi bijektif. Berkaitan
dengan fungsi bijektif, kita mempunyai teorema penting berikut.
Teorema 1.2.1 Jika f : X ! Y suatu fungsi bijektif maka terdapat g : Y ! X
sehingga
f(g(y)) = y, y 2 Y
dan
g(f(x)) = x, x 2 X.
Pada teorema di atas, g disebut invers dari f dan dinotasikan g = f−1.




Sistem Bilangan Real (R)

           Pada kuliah kalkulus Anda telah mempelajari beberapa sifat dasar bilangan

real, khususnya sifat-sifat operasi penjumlahan dan perkalian. Selain itu, Anda juga

telah diperkenalkan dengan konsep urutan dengan berbagai sifatnya serta bentuk

aplikasinya pada penyelesaian pertidaksamaan di bilangan real. Pada kuliah ini

Anda akan mendapat wawasan lanjutan tentang materi yang telah Anda peroleh di

kalkulus itu. Kita akan meninjau kembali sifat-sifat dasar di atas untuk kemudian

melangkah pada sifat-sifat kelengkapan yang merupakan target utama bab ini.

2.1 Aksioma-aksioma Bilangan Real

Pada sistem bilangan real R kita dapat mendefinisikan dua buah operasi, yaitu

penjumlahan (+) dan perkalian (·). Untuk semua a, b, c 2 R, kedua operasi ini

memenuhi semua sifat berikut:

Sifat Ketertutupan a + b dan a.b keduanya adalah elemen di R

SifatKomutatif a + b = b + a, a.b = b.a

Sifat Asosiatif (a + b) + c = a + (b + c), (a.b).c = a.(b.c)

Sifat Distributif a.(b + c) = a.b + a.c dan (b + c).a = b.a + c.a

Eksistensi Identitas Penjumlahan Terdapat 0 2 R sehingga 0 + a = a.

Eksistensi Identitas Perkalian Terdapat elemen 0 6= 1 2 R sehingga 1.a = a

untuk semua a 2 R

Eksistensi Invers Penjumlahan Untuk setiap a 2 R terdapat −a 2 R sehingga

5


BAB 2. SISTEM BILANGAN REAL (R)


a + (−a) = 0.
Eksistensi Invers Perkalian Untuk setiap x 6= 0 di R terdapat satu elemen 1
x 2 R
sehingga x. 1
x = 1.
2.2 Urutan
Disamping adanya dua operasi di atas, pada sistem bilangan real juga dikenal
relasi urutan. Relasi urutan ini berkaitan dengan aspek positifitas dan ketaksamaan
antara dua buah bilangan real. Sifat-sifat urutan ini akan banyak kita
gunakan ketika mencari solusi pertidaksamaan di bilangan real. Persisnya, bahwa
di R terdapat subhimpunan tak kosong P, kita sebut himpunan bilangan positif,
yang memenuhi tiga sifat berikut:
i. Jika a 2 R maka (hanya) satu diantara pernyataan berikut yang dipenuhi
a 2 P, a = 0, atau − a 2 P
ii. Jika a, b 2 P maka a + b 2 P.
iii. Jika a, b 2 P maka ab 2 P.
Sifat yang pertama adalah yang dikenal dengan sebutan trikotomi. Adapun dua
sifat berikutnya menyatakan bahwa subhimpunan P tertutup terhadap operasi penjumlahan
dan perkalian.
Sifat-sifat urutan
Sekarang kita akan melihat berbagai implikasi dari semua definisi di atas. Tidak
hanya itu, kita mencoba membuktikannya dengan argumentasi logis.
Teorema 2.2.1 Relasi urutan di R memenuhi sifat-sifat berikut:
i. Untuk sebarang dua bilangan real a dan b maka persis satu di antara hubungan
berikut dipenuhi
a < b, a = b, atau a > b
ii. Jika a < b dan b < c maka a < c [Sifat Transitif ]

2.3. NILAI MUTLAK
 
iii. Jika a b dan b a maka a = b.
Bukti. (i.) Untuk dua bilangan sebarang a dan b, kita peroleh b − a 2 R.
Berdasarkan sifat trikotomi maka haruslah berlaku b − a 2 P , a < b, atau
b − a = 0 , a = b, atau a − b 2 P , a > b.
(ii.) Misalkan a < b dan b < c, berdasarkan definisi b−a 2 P dan c−b 2 P. Karena
P tertutup terhadap penjumlahan maka kita peroleh (b − a) + (c − b) = c − a 2 P,
atau a < c.
(iii.) Andaikan a 6= b, maka harus berlaku a < b atau a > b, berdasarkan sifat trikotomi.
Namun, baik a < b ataupun a > b keduanya bertentangan dengan asumsi
awal, yaitu a b dan b a.


2.3 Nilai Mutlak
Dalam pembahasan selanjutnya, kita berkepentingan dengan konsep jarak antara
dua buah titik (bilangan) di garis real. Oleh karena itu kita tinjau kembali definisi
nilai mutlak suatu bilangan, yang dapat kita pandang sebagai representasi jarak
bilangan itu dari titik nol.
Definisi Nilai mutlak |x| dari bilangan x 2 R didefinisikan sebagai
|x| =8<:
x , jika x 0
−x , jika x < 0
Dari definisi ini dengan mudah kita melihat bahwa |a| 0 untuk semua a, dan jika
a = 0 maka |a| = 0. Selanjutnya, misalkan a 6= 0, maka −a 6= 0 sehingga |a| 6= 0.
Oleh karena itu kita peroleh x = 0 jika dan hanya jika |x| = 0.
Teorema berikut memberikan gambaran lebih lanjut mengenai sifat-sifat nilai mutlak.



Minggu, 02 Desember 2012

Struktur Aljabar

Ring (Gelanggang)

Definisi  :
Suatu Ring (R , * , ·) adalah sebuah himpunan tak kosong R dengan dua operasi biner yaitu * sebagai operasi pertama dan · sebagai operasi kedua, yang kedua-duanya didefinisikan pada R yang memenuhi aksioma berikut :
=>  (R , *) adalah grup abelian
=>  Operasi · tertutup di R
=>  Operasi ·bersifat assosiatif di R
=>  Operasi · bersifat distributif terhadap operasi * di R baik distributif kiri maupun kanan

Jenis gelanggang dengan sifat khusus

  1. Gelanggang komutatif, yaitu gelanggang yang bersifat komutatif terhadap operasi perkalian
  2. Gelanggang dengan unsur satuan, yaitu suatu gelanggang (G, +, x ) yang memuat suatu unsur sebut e, dengan sifat “gÎG, berlaku g x e = e x g = g, (ge=eg=g )
  3. Gelanggang dengan pembagi nol, misal z suatu unsur nol dari gelanggang G, G disebut suatu gelanggang dengan pembagi nol jika terdapat dua elemen a¹z dan b¹z di G, sehingga ab = z dan ba =z
  4. Daerah integral, yaitu suatu gelanggang komutatif, mempunyai elemen satuan dan tidak memuat pembagi nol.
  5. Lapangan, yaitu suatu gelanggang G yang komutatif dengan elemen satuan dan setiap elemen tak nol mempunyai invers terhadap operasi perkalian.
  6. Gelanggang pembagian, suatu gelanggang G dengan paling sedikit memuat dua elemen disebut gelanggang pembagian atau lapangan tidak sempurna jika G suatu gelanggang dengan elemen satuan dan setiap elemen tak nol mempunyai invers terhadap operasi perkalian.
  7. Gelanggang Boole, yaitu suatu gelanggang G dengan sifat “gÎG, berlaku g2=g.
  8. Gelanggang-p, yaitu suatu gelanggang G, dengan sifat “gÎG, berlaku gp = g dan pg = z.

PERKALIAN DAN PANGKAT DALAM GELANGGANG

Dalam gelanggang (G,+,x), untuk suatu bilangan bulat positif m dan suatu elemen g di G, mg = g+g+…+ g ( sebanyak m kali ).
Kemudian (-m)g = (-g) + (-g) + … + (-g) ( sebanyak m kali)
= m(-g)
= -(mg)
dan 0g=0 ( dalam hal ini 0 adalah bilangan bulat bukan unsur nol G)
Juga, gm = g x g x … x g.
Berkenaan dalam gelanggang tidak mensyaratkan adanya invers dari suatu elemen terhadap operasi perkalian, maka pangkat negatif tidak didefinisikan.

KARAKTERISTIK GELANGGANG

Suatu gelanggang G dikatakan mempunyai karakteristik n, jika “gÎG, berlaku ng = z.
Karakteristik gelanggang dapat diidentifikasikan melalui karakteristik dari unsur satuannya ( jika ada ) dalam kedudukannya pada grup (Ingat terhadap operasi penjumlahan gelanggang merupakan grup ), berdasar teorema berikut.
Teorema. Karakteristik suatu gelanggang G dengan elemen satuan e, bergantung karakteristik dari e dalam grup penjumlahan G.
PENGERTIAN PEMBAGI NOL
Suatu elemen g dari gelanggang G, disebut pembagi nol jika terdapat elemen b yang bukan elemen nol sehingga gb = bg = z. ( jika hanya berlaku gb = z disebut pembagi nol kiri, jika hanya berlaku bg = z disebut pembagi nol kanan.( perhatikan bahwa unsur nol dalam suatu gelanggang selalu merupakan pembagi nol )
Selanjutnya jika g ¹ z, dikatakan g suatu pembagi nol sejati dalam gelanggang G.
Terdapat hubungan pembagi nol dengan berlakunya hukum kanselasi, seperti teorema berikut.
Jika g bukan pembagi nol dalam gelanggang G, dan terdapat x,y di G sehingga gx=gy maka berlaku x=y ( juga jika xg = yg maka berlaku x=y )
Apakah (Z4, +, x ) punya pembagi nol sejati (pns)?
Apakah (Z7, +, x ) punya pembagi nol sejati (pns)?
Berikan operasi sehingga Z3xZ3 merupakan ring! Punyakah pns ?
Berikan operasi sehingga ZxZ merupakan ring! Punyakah pns ?
Manakah subring terkecil dari Z yang memuat 3?
Teorema. Hasil kali dua unsur yang bukan pembagi nol adalah bukan pembagi nol.
Hubungan invers dan pembagi nol dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema.
 Dalam suatu gelanggang G dengan unsur satuan, suatu unsur yang mempunyai invers kiri ( kanan ) , bukanlah suatu pembagi nol kiri (kanan)
Elemen idempoten dalam gelanggang
Suatu elemen g di gelanggang G, disebut elemen idempoten jika berlaku g2 = g.
Elemen nilpoten dalam gelanggang
Suatu elemen g di gelanggang G, disebut elemen nilpoten jika terdapat bilangan bulat n sehingga berlaku gn = z.

Contoh-contoh

  1. Misal G = { (x,y) | x,yÎR }. Pada G didefinisikan operasi + dan x sebagai berikut. Untuk sebarang (a,b) dan (c,d) pada G, berlaku(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) dan (a,b) x (c,d) = (ac – bd, ad + bc )
    (G, +, x ) jenis merupakan gelanggang yang mana ?
  1. Dalam himpunan bilangan bulat Z , didefinisikan operasi Å dan Ä sebagai berikut. Untuk sebarang a,b di Z , berlaku a Å b = a+b+1 dan a Ä b = a + b + ab, termasuk gelanggang apakah (Z,Å,Ä,) ?
  1. Apakah himpunan matriks , dengan operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan gelanggang? Jenis apa?
  2. Dalam suatu gelanggang G, yang memiliki lebih dari satu elemen maka elemen nol dan elemen satuan adalah berbeda.
SUBRING ( GELANGGANG BAGIAN )
Suatu himpunan bagian S dari suatu gelanggang G disebut subring (gelanggang bagian) dari G, jika S merupakan gelanggang terhadap operasi yang sama dengan G.
Setiap gelanggang merupakan gelanggang dari dirinya sendiri.
Setiap gelanggang G selalu mempunyai gelanggang bagian, yaitu {z} dan G.
Untuk sebarang gelanggang G dan suatu bilangan bulat m, himpunan S = { mx | xÎ G } merupakan gelanggang bagian dari G.
Teorema. Misal G gelanggang, S himpunan bagian G yang tak kosong disebut gelanggang bagian dari G, jika memenuhi
  1. “a,bÎS, a+(-b) = a-b Î S
  2. “a,bÎS, ab Î S
Dari gelanggang matrik M2(R) = , matrik-matrik berikut merupakan gelanggang bagian dari M2(R).
1. 2. 3.
4. 5. 6. 7. M2(Q) 8. M2(Z)
Beberapa sifat gelanggang bagian
  1. Dalam gelanggang G, jika G1 dan G2 merupakan gelanggang bagian dari G, maka G1ÇG2 merupakan gelanggang bagian dari G.
  2. Jika G gelanggang tanpa elemen satuan , kemudian S gelanggang bagian dari G dan S memuat elemen satuan maka elemen satuan ini merupakan pembagi nol sejati.
  3. Jika G gelanggang dengan elemen satuan e, kemudian S gelanggang bagian dari G dan S mempunyai elemen satuan e1¹e maka elemen satuan ini (e1) merupakan pembagi nol sejati.

IDEAL

Suatu himpunan bagian tak kosong S dari gelanggang G, disebut ideal dari G jika:
  1. Terhadap operasi penjumlahan, S merupakan subgrup dari G (berarti “x,yÎS, berlaku x-yÎS)
  2. “sÎS dan gÎG, berlaku agÎS dan gaÎS.
Dalam keadaan pada 2. hanya berlaku agÎS dikatakan S merupakan ideal kanan dari G , kemudian alam keadaan pada 2. hanya berlaku gaÎS dikatakan S merupakan ideal kiri dari G.
  1. Himpunan bilangan bulat genap merupakan ideal dari gelanggang himpunan bilangan bulat.
  2. Irisan dua ideal adalah ideal. Gabungan ?
  3. Ideal dari ring G merupakan subring dari G?
  4. Misal G gelanggang dan m suatu bilangan bulat. Himpunan mG={mg | gÎG} apakah merupakan ideal dari S ?
  5. Misal G gelanggang, aÎG. Misalkan pula Ga={ga|gÎG}. Apakah Ga ideal dari G?

HOMOMORFISMA GELANGGANG

Misalkan (G,+,x) dan (H,Å,Ä) dua gelanggang. Pemetaan f:G®H, disebut homomorfisma jika dipenuhi, f(a+b)=f(a)Åf(b) dan f(axb)=f(a)Äf(b). Dalam hal ini dikatakan G homomorfik dengan H, juga didefinisikan Ker(f)={ xÎG | f(x) =0 }, dengan 0 unsur nol dari H. Ker(f) merupakan ideal dari G.
Jika homomorfisma f merupakan pemetaan yang satu-satu dan pada , maka f disebut isomorfisma dan dikatakan G isomorfik dengan H. Jika homomorfisma f merupakan pemetaan yang satu-satu disebut monomorfisma, Jika homomorfisma f merupakan pemetaan yang pada disebut epimorfisma . Jika G=H, f disebut endomorfisma.
  1. Untuk suatu ring G dan H , mungkin ada beberapa homomorfisma dari G ke H, paling tidak ada satu homomorfisma yaitu f:G®H dengan f(g)=0, “gÎG.
  2. Jika Gn adalah himpunan bilangan genap,dalam Gn didefinisikan operasi Å dan Ä dengan aturan untuk sebarang a,b di Gn aÅb=a+b dan aÄb=(ab)/2. Dengan operasi ini Gn merupakan gelanggang, sehingga dapat didefinisikan suatu homorfisma f : Z ® Gn, dengan f(a)=2a. Apakah f isomorfisma ?
  3. Dari himpunan N=, dilengkapi operasi jumlah dan kali matriks N, merupakan gelanggang dan jika didefinisikan pemetaan f : N ® N, dengan , maka f suatu homomorfima. Apakah f isomorfisma ?
  4. Dalam homomorfisma f : G ® H, apakah peta dari unsur nol dari G, adalah selalu unsur dari H? Apakah f(-x)=-f(x) ? Jika masing-masing memiliki unsur satuan, apakah peta unsur satuan juga merupakan unsur satuan?
  5. Dalam homomorfisma f : G ® H, apakah peta dari G yaitu f(G) merupakan subring dari H?
  6. Misalkan G gelanggang dengan unsur satuan ( sebut e) dan S suatu ideal dari G dengan eÎS. Buktikan bahwa S=G.
  7. Misalkan S dan T masing-masing ideal dari gelanggang G. Didefinisikan himpunan S+T={s+t|sÎS,tÎT} , buktikan bahwa S+T merupakan ideal dari G.
  8. Misalkan R gelanggang dengan unsur satuan. Untuk suatu a dan b di R didefinisikan himpunan S={xa+yb|x,yÎR}. Buktikan bahwa S merupakan ideal dari R.
Pada bahasan sebelumnya telah diketahui bahwa Kernel dari suatu homomorfisma merupakan ideal. Berikut ini akan diuraikan keadaan sebaliknya bahwa dari sebarang ideal dapat dikonstruksi suatu homomorfisma dengan kernel adalah ideal tersebut. Untuk itu akan dibahas tentang ring kuosien .
Misalkan K suatu ideal dari gelanggang R. Dalam operasi penjumlahan, K merupakan subgrup dari R, sehingga berdasar teori grup akan selalu dapat diperoleh grup kuosien R/K, yaitu himpunan semua koset dari K terhadap R, dengan operasi penjumlahan pada R/K yaitu untuk sebarang dua unsur a+K dan b+K, (a+K) + (b+K) = (a+b) + K.

Selanjutnya dengan cara yang sama definisikan operasi perkalian pada R/K untuk sebarang dua unsur a+K dan b+K, (a+K) x (b+K) = (ab) + K.

Perhatikan bahwa operasi ini well-define(memenuhi syarat sebagai operasi-yaitu operasi sebagai fungsi, dua unsur yang sama petanya sama), yaitu dengan menunjukkan bahwa untuk sebarang unsur-unsur a+K=a’+K dan b+K=b’+K, maka ab + K = (a+K) x (b+K) = (a’+K) x (b’+K) = a’b’ + K.
Perhatikan bahwa dari a+K=a’+K, maka a – a’ ÎK, dan karena K ideal, maka (a-a’ )bÎK. Juga dari b+K=b’+K, maka b­ – b’Î K, dan karena K ideal maka a’( b – b’ ) ÎK, sehingga akan juga berlaku ab – a’b’ = (ab – a’b)+(a’b – a’b’)(a-a’ )b + a’( b – b’ ) Î K
Ini mengatakan bahwa ab + K = a’b’ + K. Jadi terbukti bahwa ab + K = (a+K) x (b+K) = (a’+K) x (b’+K) = a’b’ + K. Jadi operasi ini well-defined. ( selanjutnya bisa ditunjukkan bahwa dengan dua operasi ini, R/K merupakan gelanggang. ) Bukti R/K sebagai gelanggang dapat diperoleh juga dari fakta bahwa dengan pemetaan f berikut, petanya ( f(R)) adalah R/K dan peta dari suatu homomorfisma adalah suatu ring.
Hal ini merupakan hasil dari teorema berikut.
Misalkan K suatu ideal dari R. Pemetaan f : R ® R/K dengan f(a) = a +K, untuk aÎR merupakan homomorfisma pada (epimorfisma) dengan Ker(f)=K.
Berikut ini beberapa teorema tentang homomorfisma yang berkaitan dengan ring kuosien.
Teorema Homomorfisma Pertama
Misalkan pemetaan j : R ® R’ suatu homomorfisma pada dengan Ker(j) = K. Maka R’ » R/K (baca isomorfik); Dalam hal ini jika didefinisikan pemetaan y : R/K ® R’ dengan aturan y(a+K) = j(a), maka pemetaan ini merupakan isomorffisma.
Teorema Homomorfisma Kedua
Misalkan pemetaan j : R ® R’ suatu homomorfisma pada dengan Ker(j) = K. Misal I’ suatu ideal dari R’ dan I={aÎR | j(a)ÎI’ } . Maka I merupakan ideal dari R, I Ê K dan I/K » I’.
Teorema Homomorfisma Ketiga
Misalkan pemetaan j : R ® R’ suatu homomorfisma pada dengan Ker(j) = K. Misal I’ suatu ideal dari R’ dan I={aÎR | j(a)ÎI’ } . Maka R/I » R’/I’. Atau dengan kata lain , jika K suatu ideal dari R dan I Ê K, maka R/I » (R/K)/(I/K).
Jenis-jenis Ideal
  • Ideal I pada ring R disebut ideal utama (principal ideal), jika I dibangun oleh suatu unsure a ÎI, atau ditulis I=(a)={xa | xÎR}.
  • Misal G gelanggang komutatif dan P ideal dari G, P disebut ideal prima jika jika “abÎP, maka aÎP atau bÎP, sedangkan P disebut ideal radikal jika “anÎP, nÎN, maka aÎP. Buktikan bahwa
  1. Setiap ideal prima merupakan ideal radikal.
  2. Irisan dari dua ideal prima merupakan ideal radikal.
  3. c. P suatu ideal prima jika dan hanya jika R/P merupakan daerah integral.
  • Misal G gelanggang , suatu ideal M¹G disebut ideal maksimal dari R, jika untuk sebarang ideal R sedemikian sehingga MÍUÍR, maka R=U atau M=U.
Daerah integral adalah gelanggang komutatif yang tidak mempunyai pembagi nol sejati.
Gelanggang Pembagian ( Division ring) adalah gelanggang yang unsure-unsur bukan nol nya membentuk grup terhadap operasi perkalian.
Lapangan adalah gelanggang pembagian yang komutatif.
Lapangan merupakan daerah integral tetapi sebaliknya belum tentu berlaku.
Gelanggang Euclides
Suatu daerah integral R disebut gelanggang Euclides jika terdapat suatu fungsi d : R-{0} ®Z+ È {0} dengan sifat:
  1. “a,b di R-{0}, d(a) £ d(ab)
  2. “a,b di R-{0}, terdapat t,r di R sedemikian sehingga a=tb+r dengan r=0 atau d(r) < d(b).
Setiap gelanggang Euclides merupakan gelanggang ideal utama.
Jika gelanggang taknol R memenuhi untuk setiap aÎR, a¹0, terdapat bÎR sehingga aba=a, buktikan bahwa
  1. R tidak memuat pembagi nol sejati.
  2. R memuat suatu unsur yang punya invers (unsur unit)
  3. Buktikan bahwa unsur nol merupakan satu-satunya unsur nilpoten pada daerah integral.